Calculatrice de la loi des cosinus

Introduction

La calculatrice de la loi des cosinus est un outil mathématique précieux utilisé pour résoudre des triangles lorsque les trois côtés et un angle, ou deux côtés et deux angles sont connus. Cette calculatrice utilise la loi des cosinus, un concept trigonométrique fondamental qui étend le théorème de Pythagore aux triangles non rectangles.

La formule de la loi des cosinus

La loi des cosinus est une formule mathématique utilisée pour trouver les mesures des angles et des côtés d'un triangle lorsque certaines informations sont connues. La formule est la suivante :

c² = a² + b² – 2ab * cos(C)

Où :

• c représente la longueur du côté opposé à l'angle C.
• a et b désignent les longueurs des deux autres côtés.
• C est la mesure de l'angle opposé au côté c.
• cos(C) est le cosinus de l'angle C.

Cette formule nous permet de résoudre l’un des trois côtés ou l’un des trois angles d’un triangle, étant donné que nous connaissons les valeurs d’au moins trois de ces paramètres.

Exemples de calculs

Exemple 1 : Trouver un angle

Supposons que nous ayons un triangle dont les côtés ont des longueurs a = 4 unités, b = 5 unités et c = 6 unités. Nous voulons trouver la mesure de l’angle C. En utilisant la loi des cosinus :

6² = 4² + 5² – 2 * 4 * 5 * cos(C)

Simplifier:

36 = 16 + 25 – 40 * cos(C)

Combinez des termes similaires :

36 = 41 – 40 * cos(C)

Réorganisez l’équation :

40 * cos(C) = 41 – 36

40 * cos(C) = 5

Maintenant, isolez cos(C) :

cos(C) = 5 / 40

cos(C) = 1/8

Enfin, trouvez l'angle C en prenant le cosinus inverse :

C = cos⁻¹(1/8)

C ≈ 82.82 degrés

Exemple 2 : Trouver une longueur de côté

Considérons un triangle avec des angles A = 30 degrés, B = 45 degrés et une longueur de côté c = 8 unités. Nous voulons trouver la longueur du côté a. Utiliser la loi des cosinus :

a² = b² + c² – 2bc * cos(A)

Remplacement des valeurs connues :

a² = b² + 8² – 2 * 8 * 8 * cos(30)

a² = b² + 64 – 128 * (sqrt(3)/2)

a² = b² + 64 – 64 * carré(3)

Maintenant, si nous supposons b = 6 unités :

a² = 6² + 64 – 64 * carré(3)

a² = 100 – 64 * carré(3)

une ≈ 4.14 unités

Cas d'utilisation réels

La loi des cosinus et son calculateur sont essentiels dans divers scénarios du monde réel, tels que :

1. Navigation: En navigation terrestre et maritime, la détermination des distances et des angles entre les points de la surface terrestre est cruciale. La loi des cosinus permet de calculer avec précision les distances orthodromiques.
2. ENGINEERING: Les ingénieurs utilisent la loi des cosinus pour analyser et concevoir des structures, telles que des ponts en treillis ou des antennes, où les triangles non rectangles sont répandus.
3. Physique: En physique, le calculateur est appliqué pour analyser les forces vectorielles agissant sur un objet en deux ou trois dimensions.
4. Astronomie: Les astronomes utilisent la loi des cosinus pour calculer les séparations angulaires entre les objets célestes et déterminer leurs positions.
5. Géographie: Les géographes l'utilisent pour mesurer les distances sur des cartes et déterminer avec précision la forme des terres émergées.

Conclusion

La calculatrice de la loi des cosinus est un outil polyvalent qui joue un rôle essentiel dans la résolution de triangles et dans un large éventail d'applications. En comprenant la formule de la loi des cosinus et ses applications, on peut naviguer, concevoir et analyser diverses situations du monde réel avec précision.

Bibliographie

1. Stewart, James. (2019). « Calcul : les premiers transcendantaux. » Cengage l’apprentissage.
2. Stroud, KA et Booth, DJ (2013). « Mathématiques de l'ingénierie ». Palgrave Macmillan.