حاسبة الانحراف المعياري

المُقدّمة

تعد حاسبة الانحراف المعياري أداة قيمة في مجال الإحصاء، وتستخدم لقياس تشتت أو تباين نقاط البيانات في مجموعة البيانات. تعد هذه الأداة ضرورية للإحصائيين ومحللي البيانات والباحثين لأنها توفر رؤى مهمة حول انتشار قيم البيانات. في هذه المقالة، سوف نتعمق في مفهوم الانحراف المعياري، ونستكشف الصيغ ذات الصلة، ونقدم أمثلة على الحسابات، ونناقش حالات الاستخدام في العالم الحقيقي، ونختتم بأهمية هذا المقياس الإحصائي.

مفهوم الانحراف المعياري

ما هو الانحراف المعياري؟

الانحراف المعياري هو مقياس إحصائي يحدد مدى انتشار أو تفريق مجموعة من نقاط البيانات من المتوسط ​​(المتوسط) لمجموعة البيانات. فهو يساعدنا على فهم التباين أو التقلب داخل البيانات. بمعنى آخر، يشير الانحراف المعياري المنخفض إلى أن نقاط البيانات قريبة من المتوسط، في حين يشير الانحراف المعياري المرتفع إلى أن نقاط البيانات أكثر تشتتًا.

لماذا هو مهم؟

يلعب الانحراف المعياري دورا حاسما في مختلف المجالات، بما في ذلك التمويل والاقتصاد والعلوم والعلوم الاجتماعية. يسمح لنا بما يلي:

• تقييم المخاطر وعدم اليقين: في مجال التمويل، يُستخدم الانحراف المعياري لقياس تقلب الاستثمارات، مما يساعد المستثمرين على اتخاذ قرارات مستنيرة.
• تقييم مراقبة الجودة: في التصنيع، يتم استخدامه لضمان جودة المنتج المتسقة عن طريق قياس التباين في مواصفات المنتج.
• تحليل درجات الاختبار: في التعليم، يساعد الانحراف المعياري المعلمين على فهم مدى انتشار درجات الطلاب وتقييم فعالية أساليب التدريس.

صيغ الانحراف المعياري

هناك صيغتان أساسيتان لحساب الانحراف المعياري: واحدة للعينة وواحدة للمجتمع.

صيغة الانحراف المعياري للسكان:

يتم حساب الانحراف المعياري للسكان (σ) على النحو التالي:

σ = √[Σ(xi – μ)² / N]

• σ يمثل الانحراف المعياري للسكان.
• Σ تشير إلى رمز الجمع، وهو ما يعني جمع القيم التالية لكل نقطة بيانات.
• يمثل الحادي عشر نقطة بيانات فردية.
• μ هو متوسط ​​عدد السكان (المتوسط).
• N هو العدد الإجمالي لنقاط البيانات في السكان.

نموذج صيغة الانحراف المعياري:

يتم حساب الانحراف المعياري للعينة على النحو التالي:

ق = √[Σ(xi – x̄)² / (ن – 1)]

• يمثل s الانحراف المعياري للعينة.
• Σ يدل على رمز الجمع، ويلخص الاختلافات التربيعية من متوسط ​​العينة.
• يمثل الحادي عشر نقطة بيانات فردية.
• x̄ هو متوسط ​​العينة (المتوسط).
• n هو العدد الإجمالي لنقاط البيانات في العينة.

من المهم ملاحظة أنه عند حساب الانحراف المعياري للعينة، فإننا نقسم على (n – 1) بدلاً من n لحساب درجات الحرية في العينة.

مثال العمليات الحسابية

دعونا نفكر في مثال بسيط لتوضيح كيفية حساب الانحراف المعياري.

لنفترض أن لدينا مجموعة البيانات التالية لدرجات الامتحانات لفئة مكونة من 10 طلاب:

الدرجات: 85، 90، 88، 78، 92، 87، 84، 88، 90، 89

حساب نموذج الانحراف المعياري:

1. حساب متوسط ​​العينة (x̄):س̄ = (85 + 90 + 88 + 78 + 92 + 87 + 84 + 88 + 90 + 89) / 10 = 891 / 10 = 89.1
2. احسب الفروق التربيعية من المتوسط ​​لكل نقطة بيانات:(85 – 89.1)² = 16.81، (90 – 89.1)² = 0.81، …
3. لخص الفروق المربعة:Σ(xi – x̄)² = 16.81 + 0.81 + … = 192.9
4. حساب الانحراف المعياري للعينة (الانحراف):الصورة = √[Σ(xi – x̄)² / (n – 1)] = √[192.9 / (10 – 1)] = √(192.9 / 9) ≈ √21.43 ≈ 4.63

يبلغ الانحراف المعياري لعينة مجموعة البيانات هذه حوالي 4.63.

حالات الاستخدام في العالم الحقيقي

يجد الانحراف المعياري تطبيقات في سيناريوهات مختلفة في العالم الحقيقي:

تمويل

في التمويل، يتم استخدام الانحراف المعياري لعوائد الاستثمار كمقياس للمخاطر أو التقلبات. يشير الانحراف المعياري الأعلى إلى تقلبات أكبر في الأسعار، مما يعني مخاطر أعلى. يستخدم المستثمرون هذا المقياس لتقييم المخاطر والعوائد المحتملة المرتبطة بخيارات الاستثمار المختلفة.

ضبط الجودة

يستخدم المصنعون الانحراف المعياري لمراقبة اتساق وجودة منتجاتهم. ومن خلال تحليل الانحراف المعياري لمواصفات المنتج، يمكنهم تحديد الاختلافات واتخاذ الإجراءات التصحيحية للحفاظ على جودة المنتج.

التقييم التربوي

تستخدم المؤسسات التعليمية الانحراف المعياري لتحليل أداء الطلاب في الاختبارات الموحدة. ويشير الانحراف المعياري المنخفض في درجات الاختبار إلى أن أساليب التدريس فعالة وأن معرفة الطلاب متسقة، في حين قد يشير الانحراف المعياري المرتفع إلى وجود تناقضات في التدريس أو التعلم.

وفي الختام

تعد حاسبة الانحراف المعياري أداة لا تقدر بثمن تساعدنا على فهم التباين أو انتشار نقاط البيانات داخل مجموعة البيانات. وهو مفهوم أساسي في الإحصاء ويستخدم على نطاق واسع في مختلف المجالات لتقييم المخاطر وتقييم مراقبة الجودة وتحليل البيانات. من خلال حساب الانحراف المعياري، نكتسب رؤى حول تشتت قيم البيانات، مما يمكننا من اتخاذ قرارات مستنيرة واستخلاص استنتاجات ذات معنى من بياناتنا.

مراجع حسابات

1. مونتغمري، دي سي، ورونجر، جي سي (2018). الإحصاء التطبيقي والاحتمالات للمهندسين. وايلي.
2. ديفور، جي إل (2014). الاحتمالات والإحصاء للهندسة والعلوم. سينجاج ليرنينج.